Emneopgave om andengradsfunktioner

Home » Matematik » Emneopgave om andengradsfunktioner
Matematik Ingen kommentarer
Vil du have lektiehjælp og bedre karakterer? Køb et abonnement hos restudy og lær pensum i alle fag!

Emneopgave om 2. gradsfunktioner

 

  1. Beskriv med dine egne ord funktionstypen 2.gradspolynomier (2.gradsfunktioner). Dvs. du f.eks. kan komme ind på:

 

Generel forskrift

 

Andengradspolynomier har en generel forskrift som ser således ud:
f(x) = ax^2+bx+c
ax^2 betyder blot at grafen for en andengradspolynom er en parabel.

 

Graf andengradsfunktionGraf

 

Grafen for en andengradspolynom er altid en parabel. En parabel kan enten være glad eller sur. ”a” bestemmer om parablen er glad eller sur.

Hvis ”a” er positivt, så vil grafen være glad.

Ligeledes vil grafen være sur, når ”a” er negativ.

 

 

Betydningen af koefficienterne a, b og c

”a” bestemmer om grafen er sur eller glad.

”b” bestemmer om grafens toppunkt er placeret til højre eller venstre for y-aksen. Hvis “a” og “b” har samme fortegn ligger toppunktet til venstre for y-aksen. Hvis “a” og “b” har forskellige fortegn ligger toppunktet til højre for y-aksen. Hvis b=0, så lægger toppunktet på y-aksen

”c” bestemmer parablens skæring på y-aksen. Hvis c er positiv vil parablen også skære positivt og hvis c er negativt vil parablen også skære negativt på y-aksen.

Hvis x^2=2 vil toppunktet altså skære y-aksen i 2.

 

Toppunkt

Et toppunkt kaldes både for maksimumspunkt og minimumspunkt. Hvis grafen er glad, så er der tale om et minimumspunkt. Hvis grafen er sur, så er der tale om et maksimumspunkt.

Et toppunkt kan man også beskrive som et koordinat.  er x koordinatet og   er y koordinatet.

Formlen for toppunkt ses her:

d = diskriminant. Diskriminanten kan findes ud fra følgende formel:

Diskriminanten bruger man til at beregne toppunkt og nulpunkter

 

Nulpunkter

Nulpunkter er de punkter hvor grafen skærer x-aksen. Et nulpunkt kaldes også for roden. Der kan være to, en og nul nulpunkter. Dette afhænger af diskriminanten:

D < 0: ingen løsning

D > 0: 2 løsninger

D = 0: 1 løsning

Man anvender følgende formel for at finde frem til nulpunkter:

Faktorisering

Faktorisering bruges når man har de to nulpunkter og gerne vil faktorisere det.

Man bruger følgende formel for at faktorisere: f(x) = a(x-X1)*(x-X2)

 

Et eksempel på en ligning der skal faktoriseres kunne være:

 

Xnp1 = 5

Xnp2 = 3

 

For at faktorisere den, benytter jeg ovenstående formel

 

Fortegnsvariation

 

Fortegnsvariation har noget at gøre med i hvilke intervaller x er positiv og i hvilke x er negativ. Man arbejder med fortegnsvariation i funktionsanalyser.

Der er forskel på hvornår x er positiv og hvornår x er negativ. Når grafen er glad vil x være positiv under nulpunkterne. Altså når y < 0

Derudover vil x være negativt når y > 0

Ved en sur parabel vil det være modsat.

Jeg har lavet udarbejdet denne fortegnsvariation:

Fortegnsvariation

 

Monotoniforhold

 

Monotoniforhold minder en smule om fortegnsvariation. Ved monotoniforhold skal man i stedet for tage udgangspunkt i grafens toppunkt Ved monotoniforhold beskriver man i hvilke intervaller funktionen er henholdsvis voksende og aftagende.

Der er igen forskel på om grafen er glad eller sur. Hvis grafen er glad, så vil delen til venstre for toppunktet være aftagende og delen til højre vil være voksende:

Monotoniforhold

Det er igen modsat hvis parablen er sur.

 

 

Definitionsmængde og værdimængde

Definitionsmængden er alle værdierne på x-aksen. Definitionsmængden = Dm(f)

Værdimængden er alle værdierne på y-aksen. Værdimængden = Vm(f)

 

 

Løsning af 2.gradsligninger

 

Ved løsning af en 2. gradsligning starter jeg med at aflæse koefficienterne.

Jeg vil lave et eksempel på en 2. gradsligning for at gøre det nemmere:

a= 2

b= 4

c= -6

Herefter udregner jeg diskriminanten.

Formlen for diskriminanten er

Nu kan vi fortsætte med løsningsformlen:

Så løsningen til den her 2.gradsligning er x=1 eller x=-3

Det er altså de to nulpunkter.

Dette kan eftertjekkes ved at indsætte formlen i geogebra:

Løsning af andengradsfunktioner

Løsning af 2.gradsuligheder

 

Når man løser 2.gradsuligheder gør man det næsten på samme måde. Man skal bare sørge for at isolere en af siderne og få det over på den anden side af ulighedstegnet. Herefter kan man udregne uligheden som en normal 2.gradsligning.

 

Jeg vil give et eksempel på at løse en 2. gradsulighed:

 

Der isoleres:

Nu aflæser jeg koefficienterne:

a= 2

b= -5

c= 6

 

 

 

I og med at diskriminanten er mindre end 0, så er der ingen løsninger. Med andre ord:

 

Anvendelsesmuligheder

 

Arkitekter gør meget brug af denne type matematik. Specielt når der er tale om broer og lignende arkitektur.

 

Ser man på økonomiske problemstillinger, så kan en virksomhed finde frem til hvilken pris en vare skal sælges til.

Dernæst kan virksomheden finde ud af hvornår overskuddet er positivt (afhængig af varemængden) og hvornår overskuddet er størst.

En virksomhed kan også finde ud af hvornår omsætningen er størst.

 

Det er nogle tal som er guld værd for virksomheder.

 

 

  1. For en produktion af en vare gælder, at salgsprisen pr. stk. er givet ved hvor  er afsætningen.

Omkostningerne er givet ved

 

  1. Bestem definitionsmængden for

Først og fremmest slår jeg lige fast at definitionsmængden er alle værdierne på x-aksen.

Jeg har fundet frem til at D= [0;300]

x skal altså være mellem 0 og 300 for at vi finder frem til et meningsfuldt tal. Man kan for resten ikke mindre end 0 enheder.

Det kan man også finde frem til ved at indsætte p(x) i Geogebra. På den måde kan man se hvornår definitionsmængden går i minus.

  1. Bestem en forskrift for omsætningen R.

Omsætning/R(x) = p(x)*x

Jeg ganger x ind i parentesen. Nu vil det se således ud:

  1. Bestem en forskrift for overskuddet h.

h(x) = R(x)-C(x)

  1. Bestem den afsætning, der giver det største overskud, det maksimale overskud og den tilhørende stykpris.

største overskud

Jeg har sat 2.gradsfunktionen ind i geogebra. På den måde får jeg et overblik over henholdsvis overskud (y-akse) og afsætning (x-akse).

Som man måske kan se, er toppunktet (100, 288000). Når der afsættes 100 enheder vil man altså finde det største overskud.

Det maksimale overskud vil samtidig blive 288.000 kroner.

For at finde ud af hvad stykprisen er, så dividere jeg:

  1. Bestem hvilket interval afsætningen skal tilhøre, for at der er et positivt overskud.

Ud fra mine nulpunkter kan jeg se, at intervallet er [2;198]

eller 2<x<198

interval der skal tilhøre

  1. Vis i et koordinatsystem graferne for , og samt løsningerne til opgaverne d) + e)

Vis i koordinatsystem

C(x) har den røde farve

R(x) har den lyseblå farve

h(x) har den sorte farve

LEAVE A COMMENT